2.4 La fonction de variation inverse

Alors que la fonction linéaire de degré 1 ($y = ax + b$) est une manifestation d'une situation de proportionnalité, la situation de variation inverse est... l'inverse. En effet, dans cette relation mathématique, on observe une progression inverse et non linéaire entre les deux variables. La fonction de variation inverse suit le modèle

$y = \dfrac{c}{x}$

où $c$ est une valeur constante. La fonction de variation inverse a toujours l'allure suivante :

2.4.1 Exemple

Plusieurs situations de la vie courante peuvent être traduites par une fonction de variation inverse ; en voici un exemple.

Les résidents d'un quartier désirent se payer les services d'un déneigeur cet hiver. Le déneigeur leur propose de faire un prix pour tout le quartier, que les résidents se partageront. Le contracteur leur chargera 2460 $ pour tout l'hiver.

Nombre de résidents (x)	1	2	4	8	12	16
Prix par résident (y)	2460	1230	615	307,50	205	153,75

La règle de cette situation est $y = \dfrac{2460}{x}$.

2.4.2 Détermination de la constante

Pour déterminer la constante d'une fonction (le $c$ de la fonction), il suffit d'isoler la constante dans la règle, à l'aide d'un point connu (donc les coordonnées $x$ et $y$).

Voici un exemple : un entrepreneur souhaite offrir l'estimation du temps nécessaire pour accomplir des travaux de peinture dans un restaurant. Il montre un graphique du temps total des travaux en fonction du nombre de peintres à son client.

1. Identifier un point facilement lisible dans la fonction. Ici, le point $(3, 24)$ est facilement lisible.

2. Placer les coordonnées du point choisi dans la règle $y = \dfrac{c}{x}$ :

$24 = \dfrac{c}{3}$

3. Isoler $c$ dans la règle :

$72 = c$

On obtient donc que la constante de cette situation est 72. On comprend donc que le nombre total d'heures de peinture à faire dans le restaurant est de 72 — les peintres devront se partager ce total d'heures.

Les exercices pour cette section se trouvent dans Vision Vol. 1 :

• Activité 2 (Oxygène), p. 87
• Mise au point, p. 92, # 1, 2, 3, 5, 6, 7 (seulement les relations 1 et 2), 10, 11, 13, 18