2.3 Les fonctions linéaires ★ Cours Top 5

Lorsqu'un ensemble de données progresse de manière constante, on dira qu'il s'agit d'une fonction linéaire.

Fonction linéaire : fonction qui traduit une situation de proportionnalité.

Les fonctions linéaires sont des fonctions constantes (donc une seule droite), croissantes ou décroissantes, qui passent par l'origine du plan cartésien ou non. Voici quelques exemples :

Le modèle de la règle des fonctions linéaires est toujours :

$y = ax + b$

où $a$ représente le taux de variation (c'est-à-dire la pente de la droite) et $b$ représente la valeur initiale (c'est-à-dire la valeur de la fonction à $x = 0$).

2.3.1 Fonction linéaire de degré 0

Les fonctions linéaires de degré 0 (aussi appelées fonctions constantes) sont des fonctions caractérisées par une pente nulle, c'est-à-dire que la valeur du $a$ dans la règle $y = ax + b$ est de 0. Ceci donne toujours une fonction dont la droite est parfaitement horizontale. La seule source de variation dans les fonctions linéaires de degré 0 est la valeur initiale ($b$).

Ex. : la fonction linéaire de degré zéro dont la règle est $y = 0x + 6{,}3$ (puisque $a$ vaut 0, on peut aussi écrire la règle $y = 6{,}3$) ressemble à ceci :

📺 Vidéo 2.3 – 2

On peut imaginer plusieurs situations qui se traduisent par des fonctions constantes :

• Situation 1 : la température à l'intérieur d'un congélateur est toujours de $-15\ °C$. Règle : $y = 0x - 15$ ou $y = -15$.
• Situation 2 : durant tout son vol, un avion de ligne maintient une altitude de 9250 mètres. Règle : $y = 9250$.

2.3.2 Les fonctions linéaires de degré 1

Les fonctions linéaires de degré 1 sont un peu plus complexes que les fonctions constantes. En effet, en plus de subir des variations au niveau de la valeur initiale ($b$), leur taux de variation ($a$) peut lui aussi revêtir une infinité de valeurs (de $-\infty$ à $+\infty$). En modifiant la valeur du $a$ et du $b$, on influence l'allure de la fonction de trois manières :

Variation de la valeur du $a$ : on influence l'inclinaison de la pente du graphique.

Petite valeur de $a$ : $y = 0{,}5x + 2$     Grande valeur de $a$ : $y = 4x + 2$

Variation du signe de $a$ : on détermine si la pente est croissante ou décroissante.

Un $a$ positif : $y = 2x + 2$     Un $a$ négatif : $y = -2x + 2$

Variation de $b$ : on fait faire une translation à la fonction.

Petit $b$ positif : $y = 2x + 1$     Grand $b$ négatif : $y = 2x - 4$

Détermination de la valeur de $a$

Dans plusieurs situations, il sera important de déterminer la valeur de $a$ pour pouvoir découvrir la règle de la fonction. Pour y arriver, on a besoin de deux points faisant partie de la fonction (deux points sur la droite de la fonction). On utilisera alors la formule suivante :

$a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \qquad \text{ou encore} \qquad a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

1. Identifier les coordonnées des deux points. Sur le graphique de la fonction, deux points sont situés sur des coordonnées claires. Nous utiliserons donc ces deux points pour déterminer le taux de variation.

2. Avec les coordonnées des deux points, on peut maintenant utiliser la formule présentée plus haut.

$a = \dfrac{(9-1)}{(10-5)} = \dfrac{8}{5} = 1{,}6$

On obtient donc que le taux de variation (ou l'inclinaison de la pente) est de $1{,}6$. Ceci fait bien du sens puisque la pente de notre droite est croissante et est moyennement abrupte. Notre règle sera donc $y = 1{,}6x + b$.

📺 Vidéo 2.3 – 1

Détermination de la valeur de $b$

Pour déterminer la valeur de $b$, il faut simplement utiliser nos compétences d'algèbre pour isoler $b$ dans un contexte où $b$ est la seule inconnue dans la règle $y = ax + b$.

1. On doit d'abord s'assurer que $b$ est la seule valeur manquante — on a donc besoin du $a$ de la fonction ainsi que d'un point faisant partie de la fonction. Nous utiliserons la même fonction que dans l'exemple précédent : nous avions déterminé, à l'aide de deux points, que la valeur de $a$ était de $1{,}6$. Nous disposons donc de $a$ et d'au moins un autre point — $(5,1)$ ou $(10,9)$. Nous utiliserons le point $(5,1)$ pour l'exemple.

2. Placer nos valeurs connues dans la règle de la fonction $y = ax + b$, où $a = 1{,}6$, $x = 5$ et $y = 1$ :

$1 = 1{,}6 \cdot 5 + b$

3. Puisque $b$ est la seule valeur inconnue, on peut l'isoler grâce aux opérations inverses pour connaître sa valeur.

$1 = 8 + b \quad \Rightarrow \quad -7 = b$

Cette valeur fait bien du sens, puisque la valeur initiale semble assez basse sur l'axe des $y$.

4. Puisque $a$ et $b$ sont maintenant connus pour cette fonction, on peut maintenant écrire la règle complète de cette fonction.

$y = 1{,}6x - 7$

📺 Vidéo 2.3 – 3

2.3.3 Utilisation de la règle d'une fonction

Une fois que la règle d'une fonction est connue, il est possible d'en extraire une grande quantité d'information. En fait, grâce à la règle, il est possible de déterminer les coordonnées de n'importe quel point de la fonction. Ceci permet de compléter une table de valeurs, de tracer le graphique de la fonction et de résoudre plusieurs situations-problèmes.

Remplir une table de valeurs

Pour remplir une table de valeurs, il suffit de placer dans la règle d'une fonction une valeur de $x$ ou de $y$ et, en isolant la variable libre, de déterminer la coordonnée associée à cette valeur.

Ex. : remplir la table de valeurs suivante, associée à la fonction $y = 3{,}3x + 7{,}4$.

X	3	5
Y	17,3	33,8

Si $x$ vaut 5, on remplace $x$ par 5 dans la règle : $y = 3{,}3x + 7{,}4$ devient $y = 3{,}3 \cdot 5 + 7{,}4 = 16{,}5 + 7{,}4 = 23{,}9$.

Si $y$ vaut $33{,}8$, on remplace $y$ par $33{,}8$ dans la règle : $33{,}8 = 3{,}3x + 7{,}4$. On doit alors isoler $x$ :

$33{,}8 - 7{,}4 = 3{,}3x \quad\Rightarrow\quad 26{,}4 = 3{,}3x \quad\Rightarrow\quad 8 = x$

On peut alors remplir la table de valeurs avec ces nouvelles valeurs :

X	3	5	8
Y	17,3	23,9	33,8

Tracer un graphique

Pour tracer le graphique d'une fonction, tout ce dont vous avez besoin est de deux points. Si vous connaissez la règle de la fonction, vous connaissez déjà les coordonnées d'un point, soit la valeur initiale $(0, b)$. Il suffit alors de placer n'importe quelle valeur de $x$ dans la règle pour obtenir la valeur de $y$ associée — vous obtiendrez ainsi un deuxième point.

Ex. : tracer le graphique de la fonction $y = 2{,}5x + 2$.

1. Identifier le premier point grâce à la valeur initiale. Comme indiqué plus haut, nous connaissons déjà la valeur initiale de cette fonction, puisque le $b$ de la règle nous indique la valeur de $y$ lorsque $x$ vaut 0. Notre premier point est donc $(0, 2)$.
2. Identifier le deuxième point en plaçant une valeur de $x$ dans la fonction. Je choisirai $x = 2$ : $y = 2{,}5 \cdot 2 + 2 = 5 + 2 = 7$. Notre deuxième point est donc $(2, 7)$.
3. Tracer le graphique en utilisant les deux points trouvés.

Les exercices pour la section 2.3 sont disponibles dans Vision Vol. 1, p. 177, # 4 à 11, 14, 15, 17 à 19, 21 à 24.