1.3 La notation scientifique et le système international d'unités

1.3.1 La notation scientifique

La notation scientifique permet d'exprimer plus facilement de très petits ou de très grands nombres (comme on en croise souvent en science, d'où son nom).

Un nombre exprimé en notation scientifique est toujours composé de deux parties (deux facteurs d'une multiplication).

$\underbrace{5{,}34}_{\text{1er facteur}} \times \underbrace{10^4}_{\text{2e facteur}}$

Le premier facteur est un nombre décimal $d$ non nul (qui ne peut valoir 0), plus grand que -10 et plus petit que 10 ($-10 < d < 10,\ d \neq 0$).

• Bons exemples : $0{,}01$ — $-2{,}59$ — $9{,}99$ — $7{,}23$ — $5{,}55$ — $-8{,}89$
• Mauvais exemples : $-23{,}06$ — $14{,}32$ — $0$ — $-16{,}59$ — $10$ — $-10{,}32$

Le deuxième facteur est une puissance de 10 (une base 10 portant un exposant) dont l'exposant peut être soit positif, soit négatif. Ce nombre exprime l'ordre de grandeur du nombre exprimé en notation scientifique.

Ex. : $10^3$ — $10^{-2}$ — $10^{23}$ — $10^{-144}$

Rappel : comme nous l'avons vu dans les autres sections du chapitre 1, une base 10 portant un exposant négatif permet d'obtenir des valeurs plus petites que 1.

Ex. : $10^{-2} = \dfrac{1}{10^2} = \dfrac{1}{100} = 0{,}01$

Pour convertir un nombre « normal » en notation scientifique

Nous utiliserons le nombre 805 000 000 000 (805 milliards) pour l'exemple.

1. Identifier le 1$^{er}$ chiffre non nul du nombre, c'est-à-dire le 1$^{er}$ chiffre à partir de la gauche qui n'est pas 0. 805 000 000 000 → ici, 8 est notre 1$^{er}$ chiffre non nul.
2. Avec les chiffres situés à droite du 1$^{er}$ chiffre non nul, écrire le 1$^{er}$ facteur de la notation scientifique (le nombre décimal). Cette année, nous n'utiliserons que les deux chiffres suivant le 1$^{er}$ chiffre non nul — il faudra donc arrondir la dernière valeur dans certaines situations. 805 000 000 000 → le nombre décimal sera donc $8{,}05$.
3. Pour trouver la puissance de 10 qui formera le 2$^e$ facteur du nombre, il faut identifier la position du 1$^{er}$ terme non nul choisi à l'étape 1. 805 000 000 000 → le 8 occupe la position des centaines de milliards, donc $100\,000\,000\,000$, obtenu avec $10^{11}$. Autre truc : compter le nombre de positions dont devra être déplacée la virgule. $805\,000\,000\,000{,}0$ était notre nombre initial ; $8{,}05\,000\,000\,000$ est notre nouveau nombre — la virgule a donc été déplacée de 11 positions ($10^{11}$).
4. Résultat final : $805\,000\,000\,000$ devient $8{,}05 \times 10^{11}$.

Pour convertir un nombre plus petit que 1

Les mêmes étapes s'appliquent, mais le résultat sera un nombre décimal accompagné d'une puissance négative de 10.

Ex. : $0{,}000235$

1. Identifier le 1$^{er}$ terme non nul à partir de la gauche : $0{,}000235$
2. Composer le 1$^{er}$ facteur (le nombre décimal) avec les chiffres suivants : $2{,}35$
3. Identifier la position du 1$^{er}$ nombre. Dans $0{,}000235$, le 2 occupe la position des dix-millièmes ($0{,}0001$), obtenue avec $10^{-4}$.
4. Composer la notation scientifique : $0{,}000235$ devient $2{,}35 \times 10^{-4}$.

1.3.2 Le système international des unités (SI)

L'an passé, nous avons utilisé le système international d'unités pour convertir des nombres — des valeurs comme le poids (le gramme), la distance (le mètre) ou le volume (le litre). Cette année, nous utiliserons le vocabulaire avec lequel vous êtes déjà familiers, mais nous y appliquerons la notation scientifique pour rendre l'écriture des très grandes et des très petites valeurs plus simple.

Le SI utilise une série de préfixes que vous connaissez déjà (ex. : kilo veut dire 1000 et déci veut dire 0,1). Voici un tableau résumant les préfixes ainsi que les valeurs décimales qui leur sont associées, avec la puissance de 10 associée au préfixe et son symbole.

Préfixe	Symbole	Valeur décimale	Puissance de 10
nano	n	0,000 000 001	$10^{-9}$
micro	μ	0,000 001	$10^{-6}$
milli	m	0,001	$10^{-3}$
centi	c	0,01	$10^{-2}$
déci	d	0,1	$10^{-1}$
(unité)		1	$10^{0}$
déca	da	10	$10^{1}$
hecto	h	100	$10^{2}$
kilo	k	1000	$10^{3}$
méga	M	1 000 000	$10^{6}$
giga	G	1 000 000 000	$10^{9}$

Ex. 1 : 1,5 hectomètres (1,5 hm) peuvent être exprimés $1{,}5 \times 10^2$ mètres.

Ex. 2 : 153 nanosecondes peuvent être exprimées $153 \times 10^{-9}$ secondes.