1.2 La loi des exposants ★ Cours Top 5

Les lois des exposants peuvent sembler parfois complexes, mais on peut les résumer très simplement. Les lois des exposants s'appliquent lors d'opérations sur des termes portant des exposants, qu'il s'agisse d'une addition, d'une multiplication ou encore d'un exposant affecté d'un autre exposant.

Pour saisir toutes les lois des exposants, il suffit de bien comprendre le tableau suivant :

Essentiellement, ce tableau indique que lorsqu'une opération s'effectue sur deux termes identiques portant des exposants, l'opération d'un niveau plus simple s'effectue sur les exposants.

1.2.1 Addition et soustraction

Lorsqu'une addition ou une soustraction de deux termes semblables portant des exposants se présente (ex. : $x^2 + x^3$), notre tableau nous indique qu'on ne doit simplement rien faire. Il n'est donc pas possible de réduire, avec les lois des exposants, une telle expression.

1.2.2 Multiplication et division

Les lois des exposants prennent tout leur sens lorsque l'occasion de réduire une multiplication ou une division de deux termes semblables se présente. Selon notre tableau, lorsque deux termes semblables portant des exposants se multiplient, il suffit d'additionner leurs exposants.

Ex. : $4^3 \times 4^2 = 4^{3+2} = 4^5$

À l'opposé, lorsque deux termes semblables se divisent, on doit simplement soustraire leurs exposants.

Ex. : $x^9 \div x^7 = x^{9-7} = x^2$

1.2.3 Exposant et racine

Encore une fois, notre tableau nous rappelle d'utiliser une opération plus simple que celle présente pour traiter les exposants. Lorsqu'un terme porteur d'exposant est lui-même affecté d'un exposant, on doit multiplier les deux exposants pour simplifier l'expression.

Ex. : $(5^2)^6 = 5^{2 \times 6} = 5^{12}$

Dans le cas de la racine, la division est l'opération plus simple que le tableau nous suggère d'utiliser.

Ex. : $\sqrt[3]{y^{12}} = y^{12 \div 3} = y^4$

Deux autres lois des exposants existent ; malheureusement, celles-ci ne sont pas couvertes par notre tableau.

1.2.4 La puissance d'un produit

Lorsque la multiplication de deux termes (semblables ou non) est affectée d'un exposant, il suffit de distribuer cet exposant aux deux termes de la multiplication. À partir de ce moment, il est parfois possible d'utiliser une autre des lois des exposants.

Ex. : $(3 \times 7)^3 = 3^3 \times 7^3$

Dans cet exemple, puisque les deux termes ne sont pas semblables, l'addition de leurs exposants n'est pas possible.

1.2.5 La puissance d'un quotient

Comme pour la puissance d'un produit, lorsque la division de deux termes (semblables ou non) est affectée d'un exposant, on peut distribuer l'exposant aux deux termes de la division.

Ex. : $\left(\dfrac{x}{y}\right)^4 = \dfrac{x^4}{y^4}$

📺 Vidéo 1.2 – 1 (Résumé lois des exposants)

1.2.6 Simplification d'expression algébrique grâce à la loi des exposants

Comme dans les années antérieures, la simplification d'expressions algébriques se fait en fonction de la priorité des opérations (PEDMAS). Si vous êtes vigilants, vous serez en mesure d'utiliser les lois des exposants pour réduire plusieurs expressions sans même avoir recours à votre calculatrice.

Exemples :

$$\big((12^{-3})^2\big)^{1/2} = (12^{-3})^{2 \times 1/2} = (12^{-3})^1 = 12^{-3 \times 1} = 12^{-3}$$ $$\dfrac{\sqrt{81}}{3^4}\cdot 3^5 = \dfrac{9}{3^4}\cdot 3^5 = \dfrac{3^2}{3^4}\cdot 3^5 = 3^{2-4}\cdot 3^5 = 3^{-2}\cdot 3^5 = 3^{-2+5} = 3^3 = 27$$

Exercice : simplifie l'expression suivante grâce à la loi des exposants.

$\dfrac{\sqrt{16^3\cdot 8^2}}{2^5}$

📺 Vidéo 1.2 – 2 (Exercice loi des exposants)