Section 5.1 – Le volume des solides

Comme vous le remarquerez, la section 5.1 est assez semblable à la section 4.3 sur l'aire des solides. L'objectif de cette section est de vous familiariser avec l'application de formules vous permettant de calculer le volume des solides traditionnels.

5.1.1 – Le concept de base

L'idée principale derrière le calcul des volumes de différents solides est que le volume d'un prisme ou d'un cylindre est directement relié à la mesure de la surface de sa base. Essentiellement, si on découpait une multitude de feuilles de papier de la forme de la base d'un prisme et qu'on empilait ces feuilles, on obtiendrait ce prisme en trois dimensions.

La vidéo suivante montre comment on peut donner l'effet d'un objet en trois dimensions en superposant plusieurs formes en deux dimensions.

Vidéo 5.1

Vidéo présentée en classe.

À partir de ce concept, on verra que le calcul du volume d'un prisme passe habituellement par le calcul de la surface de sa base.

5.1.2 – Les formules de volume des solides

Pour simplifier les choses au maximum, on classera d'abord les solides en trois grandes catégories : les solides à deux bases (prismes et cylindres), les solides à une base (pyramides et cônes) et les sphères (aucune base).

Comme mentionné plus haut, lorsqu'on cherche à calculer le volume d'un prisme ou d'un cylindre, on calcule d'abord l'aire de sa base. Par la suite, il suffit de multiplier cette mesure par sa hauteur pour déterminer son volume.

Pour les pyramides et les cônes, c'est à peine plus complexe.

Voici un tableau résumant les formules de calcul de volume :

Solides	Formule
Prismes, cylindres	$V = A_{b} \cdot h$
Pyramides, cônes	$V = \dfrac{A_{b} \cdot h}{3}$
Sphères	$V = \dfrac{4 \Pi r^{3}}{3}$

Autrement résumé, on pourrait placer les formules avec la catégorisation faite plus tôt :

C'est tout! Il n'y a rien de plus à savoir pour calculer les volumes des solides simples!

Faisons tout de même un exemple ensemble.

Considérons ce cône.

1. On commence par écrire la formule du volume.

$V = \dfrac{A_{b} \cdot h}{3}$

On remarque alors qu'on est en mesure de calculer l'aire de la base (on dispose du rayon dans $\Pi r^{2}$), mais on ne connaît pas la hauteur du cône, seulement son apothème.

On devra donc déterminer la hauteur.

2. Déterminer la hauteur du cône à l'aide du théorème de Pythagore. Dans cette situation, dans la formule $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ :

• $a$ sera le rayon ($50\ cm$);
• $b$ sera la hauteur (inconnue);
• $c$ sera l'apothème ($156\ cm$).

On obtient donc :

$50^{2} + b^{2} = 156^{2}$

$2\,500 + b^{2} = 24\,336$

$2\,500 + b^{2} - 2\,500 = 24\,336 - 2\,500$

$b^{2} = 21\,836$

$\sqrt{b^{2}} = \sqrt{21\,836}$

$b = 147,77\ cm$

La hauteur est donc de 147,77 cm.

3. On utilise la formule initiale pour calculer le volume du cône.

$V = \dfrac{(\Pi r^{2}) \cdot h}{3}$

$V = \dfrac{(\Pi \cdot 50^{2}) \cdot 147,77}{3}$

$V = \dfrac{(\Pi \cdot 2\,500) \cdot 147,77}{3}$

$V = \dfrac{7\,853,98 \cdot 147,77}{3}$

$V = \dfrac{1\,160\,582,87}{3}$

$V = 386\,860,95\ cm^{3}$

Exercice

Détermine le volume du solide suivant, puis corrige-toi à l'aide de la vidéo.

Vidéo 5.2

Vidéo présentée en classe.

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 2 : p. 20 # 1, 3, 4, 5, 7, 8, 14, 20; p. 31 # 2 (a, c), 3 (a, c, e), 4, 6, 8 (b), 12, 13 (b), 14.