Section 5.3 – Les solides semblables ★ Top 5

Pour calculer ou découvrir le volume ou l'aire d'un solide, les formules présentées dans les chapitres 4 et 5 ne sont pas toujours nécessaires. En effet, lorsqu'on connaît les dimensions (distances, surfaces ou volumes) d'un solide semblable, un seul petit calcul est nécessaire. Basé sur le concept d'homothétie vu l'an passé, les calculs liés aux solides semblables sont relativement simples.

Homothétie : transformation géométrique qui permet d'agrandir ou de réduire une figure selon un rapport.

Solides semblables : deux solides sont semblables si l'un est l'agrandissement, la réduction ou la reproduction exacte de l'autre.

Pour que deux solides (ou plusieurs solides) soient considérés comme semblables, ils doivent respecter les critères suivants :

• Les angles homologues sont isométriques.
• Les arêtes homologues sont proportionnelles.

Si des solides sont semblables, plusieurs propriétés intéressantes peuvent être exploitées :

• Le rapport des mesures d'arêtes homologues (appelé rapport de similitude $k$) peut être calculé et utilisé pour déduire d'autres mesures des solides.
• Le rapport des aires est égal au carré du rapport de similitude ($k^{2}$). On peut donc déduire des aires entre les solides semblables.
• Le rapport des volumes est égal au cube du rapport de similitude ($k^{3}$). On peut donc déduire des volumes entre les solides semblables.

$Rapport\ de\ similitude = k = \dfrac{mesure\ de\ l'arête\ du\ solide\ image}{mesure\ de\ l'arête\ du\ solide\ initial}$

$Rapport\ d'aire = k^{2} = \dfrac{aire\ du\ solide\ image}{aire\ du\ solide\ initial}$

$Rapport\ de\ volume = k^{3} = \dfrac{volume\ du\ solide\ image}{volume\ du\ solide\ initial}$

Voici un exemple de calcul de rapport qui illustre parfaitement le lien entre chacun des rapports de deux figures semblables :

Les prismes rectangulaires ci-dessous sont semblables :

$Rapport\ de\ similitude = \dfrac{mesure\ de\ l'arête\ du\ solide\ image}{mesure\ de\ l'arête\ du\ solide\ initial} = \dfrac{5\ m}{10\ m} = 2$

$Rapport\ d'aire = \dfrac{aire\ du\ solide\ image}{aire\ du\ solide\ initial} = \dfrac{400\ m^{2}}{100\ m^{2}} = 4 = 2^{2}$

$Rapport\ de\ volume = \dfrac{volume\ du\ solide\ image}{volume\ du\ solide\ initial} = \dfrac{960\ m^{3}}{120\ m^{3}} = 8 = 2^{3}$

Dans l'exemple précédent, on remarque que les rapports ont tous une valeur en base deux. Cette relation entre tous les rapports peut être résumée ainsi :

$k_{1} = rapport\ de\ similitude \qquad k_{2} = rapport\ d'aire \qquad k_{3} = rapport\ de\ volume$

$k_{2} = (k_{1})^{2} \qquad\qquad k_{3} = (k_{1})^{3}$

Finalement, pour plusieurs situations, il faudra passer d'un rapport à un autre. Pour y arriver simplement, on peut développer davantage les relations entre les rapports pour obtenir l'outil suivant :

Utilisons la situation suivante pour nous pratiquer avec les rapports :

Considérons les deux cylindres semblables suivants :

1. Déterminons un rapport entre les deux solides. Plutôt que de tenter d'isoler la hauteur du cylindre bleu (cyan) pour ensuite calculer son volume, on peut simplement déterminer le rapport de similitude ($k_{1}$).

$k_{1} = \dfrac{mesure\ du\ solide\ image}{mesure\ du\ solide\ initial}$

$k_{1} = \dfrac{18}{12}$

$k_{1} = 1,5$

2. Maintenant que nous connaissons $k_{1}$, nous pouvons calculer la valeur du rapport de volume ($k_{3}$).

$k_{3} = (k_{1})^{3}$

$k_{3} = 1,5^{3}$

$k_{3} = 3,375$

3. Déterminer le volume du cylindre bleu à l'aide du rapport des volumes ($k_{3}$).

$Volume_{bleu} = Volume_{vert} \cdot k_{3}$

$Volume_{bleu} = 13\,571,67 \cdot 3,375$

$Volume_{bleu} = 45\,804,39\ cm^{3}$

On a donc réussi à déterminer le volume du second solide sans trop d'effort!

Exercice

Détermine l'aire de la figure rose.

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 2 : p. 43 # 2, 4, 5, 8, 15, 17, 19, 20 (b), 21, 23, 26.